ruban de Pascal

règles de divisibilité de Pascal

ARITHMETIQUE

Il s’agit d’une notion d’arithmétique. Le ruban de Pascal fait partie d’une méthode qui permet de conclure si l’entier a est ou non divisible par d. Pascal la décrit dans De numeribus multiplicibus.

On considère la liste des restes des divisions des puissances successives (à partir de 100) de 10 par d. Si 0 apparaît dans cette suite, les restes suivants sont aussi 0. Sinon, comme le nombre de restes est fini, à partir d’un certains rang la suite est périodique.

Exemples : pour d = 3, la suite est 1, 1, 1, .,
Pour d = 7, la suite est 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, .
Pour d = 5, d = 2, ou encore d = 25, la suite ne contient que des 0 à partir du deuxième ou du troisième rang.
Remarque : les nombres de la suite ne sont pas nécessairement à 1 seul chiffre.

Dans l’utilisation pour un critère de divisibilité, on procède de la façon suivante :
on multiplie le premier nombre de la suite par le chiffre des unités, le second par le chiffre des dizaines, etc. et on additionne les résultats. Si la somme obtenue est divisible par d, le nombre dont on est parti l’est aussi. Bien sûr si cette somme est elle-même assez grande, on recommence.

Exemple pour d = 7.
On veut savoir si le nombre 123456789 est divisible par 7.
On calcule 9 × 1 + 8 × 3 + 7 × 2 + 6 × 6 + 5 × 4 + 4 × 5 + 3 × 1 + 2 × 3 + 1 × 2 = 134
On recommence avec 134, on calcule 4*1+3*3+1*2 = 15. Comme 15 n’est pas divisible par 7, 123456789 ne l’est pas non plus.

Pour simplifier les calculs, on peut remplacer les nombres du ruban par des nombres congrus modulo d. Pour 7 cela donne par exemple 1, 3, 2, -1, -3, -2.

On retrouve les critères de divisibilités classiques (par 2, 5, et les diviseurs des puissances de 10, par 3 et 9, par 11).

La technique se généralise à des bases autres que 10.