similitude plane

GEOMETRIE

Une similitude plane est une bijection du plan euclidien orienté sur lui-même qui conserve les angles géométriques, les rapports de distances et multiplie les distances par un même réel k positif. Plus généralement une similitude est définie comme la composée d’une homothétie et d’une rotation de centres différents ou d’une homothétie et d’une réflexion .
Toute similitude non dégénérée se réduit :
1) Soit à la composée commutative d’une rotation et d’une homothétie de même centre et on dit alors que la similitude est directe , les angles orientés sont conservés.
2) Soit à la composée commutative d’une réflexion et d’une homothétie dont le centre est sur l’axe de la réflexion. la similitude est alors dite indirecte et transforme les angles orientés en leurs opposés.
Avec la définition choisie la translation est considérée comme une similitude particulière de même que les autres déplacements et réflexions, l’ensemble des similitudes planes possède la structure de groupe .
Dans un espace vectoriel euclidien orienté on définit aussi des similitudes vectorielles comme le produit d’une homothétie vectorielle et d’une rotation vectorielle ou d’une homothétie vectorielle et d’une symétrie vectorielle . l’ensemble des similitudes vectorielles a une structure de groupe isomorphe à celui de leurs matrices.
Dans le plan complexe une similitude directe d’angle α et de rapport k se traduit par z’ = az+b, le module de a est k et l’argument de a est α ; une similitude indirecte de rapport k se traduit par z’ =az^– +b avec |a| = k .
La notion de similitude se généralise à un espace vectoriel E sur un corps K muni d’une forme quadratique Q de la manière suivante : f un automorphisme est une similitude de multiplicateur k si pour tout vecteur v de E on a: Q(f (‘v)) = k Q(v)