théorème de Banach-Tarski
paradoxe de Banach-Tarski
paradoxe de Hausdorff-Banach-Tarski
FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES
1 – théorème de Banach-Tarski dans R2
Soient P et P’ deux polygones du plan. Le théorème de Banach-Tarski affirme que P et P’ ont la même aire si et seulement s’il existe une partition finie P1, P2, . Pn de P et une partition finie P’1, P’2, . P’n de P’ telles que pour tout i (1≤ i ≤ n) Pi et P’i soient congruentes. Ce théorème précise le résultat de Hilbert sur le découpage d’un polygone.
Source : dictionnaire de mathématiques Bouvier, George, Le Lionnais
2 – théorème ou paradoxe de Banach-Tarski dans Rn (n≥ 3) (n’est pas valable dans R ou dans R2).
Etant donné deux ensembles bornés quelconques B et B’ de Rn (n≥ 3) contenant chacun au moins un point intérieur (par exemple deux boules de rayons différents), on peut les décomposer chacun en un nombre fini et égal de parties disjointes A1 , A2, . Am et A’1, A’2, . A’m de telle sorte que pour tout i = 1, 2, . m, Ai et A’i se déduisent l’un de l’autre par un déplacement.
Intuitivement ce théorème affirme qu’on peut découper une boule donner et assembler ses morceaux de manière à obtenir deux boules ayant chacune les mêmes dimensions que la première.
Ce théorème montre qu’il faut utiliser avec précaution les notions fondamentales de volume.
Ce résultat implique que les morceaux soient non-mesurables.
Sa démonstration utilise l’axiome du choix.
Source : dictionnaire de mathématiques Bouvier, George, Le Lionnais
Ce théorème, démontré en 1924, est dû au mathématicien polonais Stefan Banach et au philosophe et logicien polonais Alfred Tarski .
Il répond par la négative à la question : existe-t-il dans l’espace
une mesure universelle, c’est-à-dire définie pour toutes les parties bornées,
non nulle, simplement additive et invariante par déplacement ?
La démonstration du théorème de Banach-Tarski utilise le théorème, en apparence paradoxal, de la sphère, démontré par Hausdorff, d’où le nom qui lui est aussi donné : théorème de Hausdorff-Banach-Tarski.
Théorème de la sphère : On peut diviser la surface de la sphère en trois ensembles disjoints superposables entre eux et superposables à leur réunion.