théorème du point fixe

théorème du point fixe de Brouwer
théorème du point fixe de Banach
théorème de Picard-Banach
théorème du point fixe de Schauder
théorème du point fixe de Kleene

ANALYSE

Pour une application f d’un ensemble dans lui-même, un élément a est point fixe si f(a)=a.
Plusieurs théorèmes permettent de déterminer qu’une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe.

Un des énoncés les plus simples appliqué aux réels peut s’énoncer de la façon suivante :
Soit I un intervalle fermé de R. f : I → I une application contractante , s il existe k ∈ [0,1[ tel que pour tout (x,y) ∈ I, |f(x)-f(y) |≤ k|x-y|. alors f possède un unique point fixe L . De plus, toute suite définie par u₀ ∈ I, u_n+1=f(u_n), converge vers cet unique point fixe L, et on a les estimations suivantes :
1. |u_n-L| ≤ kⁿ|u₀-L|.
2. |u_n-L| ≤ k /(1-k)|u_n-u_n-1|
Théorème du point fixe de Banach ou de Banach-Picard : Soit E un espace métrique complet (non vide) et f une application contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique x * de f dans E, c’est-à-dire tel que f(x *) = x * . De plus toute suite d’éléments de E vérifiant la récurrence x_{n + 1} = f(x_n) converge vers x * .
Les applications de ces théorèmes sont nombreuses : résolution approchée d’équations numériques ou différentielles, vitesse de convergence .etc.
Ces différents théorèmes du point fixe sont des cas particuliers du Théorème du point fixe de Brouwer établi comme généralisation : il en existe plusieurs formes dont la plus générale est :
Toute application continue f d’un convexe compact non vide K d’un espace euclidien à valeurs dans K admet un point fixe.

Cet énoncé permet par exemple de conclure que si on remue un liquide dans un verre au moins une particule restera à sa place initiale ou de prédire qu’il y a des points du globe où la marée est nulle.

De plus il existe de nombreux autres théorèmes du point fixe dont ceux de Schauder ou de Knaster- Tarski
Théorème de Schauder :
Soit E un espace vectoriel normé sur , une partie non vide de E, convexe, fermée et bornée. Si T est une application continue de C dans C telle que T(C) soit relativement compact, alors T a un point fixe.

Théorème de Knaster- Tarski :
Si T est un treillis complet et N une application monotone de T dans lui-même, alors l’ensemble des points fixes de N dans T est non-vide, et c’est lui-même un treillis complet. En particulier, N a un plus petit et un plus grand point fixe dans T.