théorème de Cauchy-Lipschitz

ANALYSE

Le théorème de Cauchy -Lipschitz établit, sous certaines hypothèses, l’unicité de la solution d’une équation différentielle répondant à certaines conditions initiales (conditions de Cauchy ) ainsi que l’existence d’une solution maximale. Il existe plusieurs formulations de ce théorème ainsi que des généralisations.
Enoncé : Soit l’équation différentielle dx/dt (t)=f(t,x(t)), avec f continue sur un ouvert U de RxE où E est un espace de Banach . Soit (t0,x0) un point de U. Si la fonction f est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable, il existe une unique solution maximale à l’équation différentielle respectant la conditions de Cauchy x(t0) = x0.

De plus s’il existe une autre solution à l’équation différentielle respectant la condition de Cauchy, c’est une restriction de la solution maximale.
Ce théorème illustre le déterminisme en physique classique. Cependant de petites différences dans les conditions initiales peuvent entraîner de grandes différences dans les phénomènes qui en découlent.