théorie des classes

théorie NBG
théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel
axiomatique de Neumann-Bernays-Gödel
axiomatique NBG

FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES

La théorie des classes ou NBG (théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel) est une théorie axiomatique. Elle a été introduite en 1925 par John von Neumann , puis reformulée en termes de théorie des ensembles et simplifiée par Paul Bernays vers 1929. Kurt Gödel la reprend pour sa preuve de cohérence relative de l’axiome du choix et de l’hypothèse du continu par les constructibles (publié en 1940).
Une théorie des classes plus forte, la théorie de Morse-Kelley, apparaît ensuite (topologie générale de John L.Kelley 1955).
Dans la théorie NBG il y a deux types d’objets, les ensembles et les classes (intuitivement tous les ensembles sont des classes mais certaines classes, appelées classes propres, ne sont pas des ensembles).
La théorie NBG reprend les axiomes de ZFC (Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), modifiés pour tenir compte des classes, auxquels elle ajoute des axiomes reliant classe et prédicat.
La théorie NBG n’est pas logiquement équivalente à la théorie ZFC, puisque son langage est « plus riche », cependant elles démontrent les mêmes énoncés restreints au langage de la théorie des ensembles. On dit que NBG est une extension conservative de ZFC.