théorème de Cantor

FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES

Le théorème de Cantor est un théorème de la théorie des ensembles.
Enoncé : le cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble est strictement supérieur au cardinal de l’ensemble lui-même.
Autre énoncé : Si P(E) désigne l’ensemble des parties d’un ensemble E, alors il n’existe aucune surjection de E sur P(E).
De ce théorème on déduit notamment qu’il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles, énoncé qu’on appelle parfois paradoxe de Cantor .

Ce théorème a été démontré en 1891 par Georg Cantor à l’aide du procédé de l’argument diagonal. Il le démontre pour l’ensemble des fonctions caractéristiques de N (ensemble des entiers naturels), puis pour l’ensemble des fonctions caractéristiques de l’intervalle des réels entre 0 et 1. Il affirme cependant sans le démontrer que le résultat se généralise à n’importe quel ensemble. Zermelo énonce et démontre ce résultat qu’il appelle théorème de Cantor dans son article de 1908, le premier à présenter une axiomatisation de la théorie des ensembles.