trisectrice de Maclaurin

ANALYSE
GEOMETRIE

Etudiée en 1742 par le mathématicien écossais Colin Maclaurin , elle doit son nom au fait qu’elle permet une construction graphique de la trisection d’un angle .

C’est une cubique circulaire unicursale .

On peut en donner plusieurs définitions.
* Soit un cercle C de centre O et de rayon 4a et une droite D dont la distance à O est 2a. On fait pivoter autour de O une droite qui coupe le cercle C en P et la droite D en Q. Le milieu M de PQ décrit une trisectrice de point double O et dont l’asymptote est parallèle à D à la distance a de O.
Equation cartésienne : x ( x² + y²) = a (3x² – y²).

* Etant donnés deux points O et S, et le point A défini par l’égalité vectorielle OA = 2/3 OS, le lieu des points tels que OP =PA =AM avec O, P, M alignés, est une trisectrice, dont le sommet est S et le point double O. L’angle SOM est le tiers de l’angle SAM (d’où le nom de trisectrice).

* Le lieu des points d’intersection de deux droites tournant autour des points A et O (avec les notations du paragraphe précédent), la vitesse de rotation de la droite qui tourne autour de A étant le triple de celle tournant autour de O, est une trisectrice de Maclaurin.

La trisectrice de Maclaurin a de nombreuses propriétés, dont le fait qu’elle est l’inverse d’une hyperbole par rapport à un de ses sommets.