Vidéo SMF – Un texte, un mathématicien. Leonhard Euler, ou l’art de donner un sens à ce qui n’en avait pas.
Auteur : Ramis Jean-Pierre
Résumé
Rien de plus simple, en apparence, que d’étudier une somme d’une infinité de nombres telle que les sommes : 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+… 1+1/4+1/9+1/16+…+1/n^2+… 1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)^n1/n+… C’est en réalité un problème difficile, que les Grecs n’avaient pas les moyens d’appréhender ; et ce n’est qu’à partir du XVIIe siècle qu’on a pu comprendre que : 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…=+∞ 1+1/4+1/9+1/16+…+1/n^2+…=(π^2)/6 1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)^n1/n+…=ln(2) Le point commun de ces trois sommes est qu’on additionne des termes qui deviennent de plus en plus petits : en additionnant chaque terme supplémentaire, la somme se modifie de moins en moins. Curieusement, le résultat est très différent puisque la première somme est le nombre « infini », alors que les autres donnent un résultat fini. Mais les mathématiciens se sont tout de suite posés des questions bien plus étranges, telles que donner un sens à des sommes où on additionne ou soustrait des termes qui ne deviennent pas très petits, voire qui sont de plus en plus grands, comme : 1-2+3-4+…+(-1)^n+… 1-1+1-1+1+…+1-1+… C’est à cette question que le grand mathématicien suisse Leonhard Euler s’intéresse dans son article de 1746 : quel sens donner à ces sommes… qui n’en ont pas ? Le texte de départ : « De seriebus divergentibus », L. Euler, Opera Omnia, I, 14, 1746, p. 585-617
Donner un sens à ce qui n’en a pas : démarche permanente des mathématiciens, dont on verra ici un étonnant exemple, et surtout un héritage qui nous mènera aux recherches en mathématiques et en physique les plus contemporaines .
Notes
Conférence donnée le 8 avril 2009 à la Bibliothèque nationale de France dans le cadre du Cycle Un texte, un mathématicien et publiée le 08/04/2009.
Une bibliographie pour en savoir plus accompagne la présentation de la vidéo sur le site de la SMF.
Cette conférence est l’objet d’un article dans Tangente n° 132 , Bibliothèque Tangente n° 41 .
Le conférencier expose et illustre son propos avec un langage simple et des outils mathématiques accessibles à des élèves de Terminales.
Jean-Pierre Ramis, ancien élève de l’École normale supérieure, a été au CNRS et professeur aux universités de Tunis, Paris et Strasbourg avant de rejoindre l’université Paul Sabatier à Toulouse en 1994. Il est membre senior de l’institut universitaire de France depuis 1996, et a été élu à l’Académie des sciences en 2005. Après des travaux en géométrie analytique complexe, il s’est intéressé aux systèmes dynamiques, continus ou discrets, dans le champ complexe, à leurs relations, via les problèmes de divergence, avec les théories de Galois et à diverses applications, en particulier à des problèmes d’intégrabilité.
Ces conférences organisées à la BNF (Bibliothèque nationale de France) illustrent les thèmes de recherche mathématique actuels tout en les replaçant dans leur contexte historique.
Cette ressource est en ligne sur le site Vidéo de la SMF et sur le site https://smf.emath.fr/smf-dossiers-et-ressources/ramis-jean-pierre-leonhard-euler-ou-lart-de-donner-un-sens-ce-qui-nen
Données de publication
Éditeur Société Mathématique de France (SMF), Bibliothèque Nationale de France (BNF) Paris , 2009 Collection Cycle des conférences de la SMF Format 1h34
Public visé élève ou étudiant, enseignant, tout public Niveau 1re, 2de, licence, lycée, terminale Âge 15, 16, 17, 18, 19
Type Film, vidéo, vulgarisation, popularisation Langue français Support internet
Classification