Vidéo SMF – Une question, un chercheur. Sommes de carrés : arithmétique ou géométrie ?

Résumé

Des triplets pythagoriciens au théorème de Fermat-Wiles, la recherche des solutions entières des équations polynomiales est une question centrale en arithmétique depuis des millénaires. Si les équations de degré 1 se traitent grâce à l’algorithme d’Euclide, le cas du degré 2 contient les questions classiques suivantes :
– Peut-on déterminer tous les triangles rectangles à côtés entiers ?
– Quels sont les nombres entiers qui sont sommes de deux, trois ou quatre carrés d’entiers ?
– Pour savoir si une équation de degré 2 a une solution en nombres entiers, suffit-il de résoudre le même problème modulo certains entiers bien choisis ?
– Existe-t-il un algorithme permettant de résoudre ces problèmes en général ?

Le conférencier présente plusieurs approches utilisant, entre autres, la géométrie et les nombres p-adiques (des nombres avec une infinité de chiffres « avant » la virgule).

Notes

Conférence donnée le 04 février 2021 dans le cadre du Cycle Une question, un chercheur et publiée le 08/02/2021.

Cette conférence est exposée de façon très pédagogique et elle est relativement accessible à des élèves de terminales ou de première année d’enseignement supérieur.

Une bibliographie pour en savoir plus accompagne la présentation de la vidéo sur le site de la SMF.

Dans ces conférences des chercheuses et chercheurs viennent raconter leur questionnement.

Cette ressource est en ligne sur le site Vidéo de la SMF et sur le site https://smf.emath.fr/smf-dossiers-et-ressources/sommes-de-carres-arithmetique-ou-geometrie-cyril-demarche-video-2021

Données de publication

Éditeur Société Mathématique de France (SMF), Bibliothèque Nationale de France (BNF) Paris , 2021 Collection Cycle des conférences de la SMF Format 1h29

Public visé chercheur, élève ou étudiant, enseignant, tout public Niveau licence Âge 19, 20, 21

Type Film, vidéo, vulgarisation, popularisation Langue français Support internet