théorème de Hahn-Banach

ANALYSE

Dû aux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach , ce théorème est un outil fondamental d’analyse fonctionnelle et de géométrie des convexes.
Il existe plusieurs variantes de chacune de ses formes analytique et géométrique.

Forme analytique du théorème : soient E un espace vectoriel sur R ou C, p une semi-norme sur E et F un sous-espace vectoriel de E. Etant donné une forme linéaire f sur F telle que norme de f(x) ≤ p(x) pour tout x de F, il existe au moins une forme linéaire f^∼ sur E, prolongement de f et vérifiant norme de f^∼ (x) ≤ p(x) pour tout x de E.

Forme géométrique du théorème : soit X un ouvert convexe non vide d’un espace vectoriel topologique E. Etant donné une variété linéaire affine Y de E ne rencontrant pas X, il existe un hyperplan affine fermé H, contenant Y et ne rencontrant pas X.
Source : dictionnaire de mathématiques Bouvier, George, Le Lionnais

La démonstration de ce théorème nécessite l’axiome du choix ou un de ses équivalents.