théorème des résidus

formule des résidus

ANALYSE

La formule des résidus ou théorème des résidus concernent les intégrales curvilignes des fonctions holomorphes sur des courbes fermées.
f est une fonction holomorphe définie sur un sous ensemble U ouvert et simplement connexe du plan complexe C, sauf aux points {z₁,z₂……..z_n} .
γ est une courbe dont le point d’arrivée et le point de départ sont confondus, rectifiable dans U et ne contenant aucun des points singuliers z_k.On lui donne le nom de lacet.
z_k désigne le résidu de f en z_k ; Ind_γ (z_k) est l’indice du lacet γ par rapport à z_k qui est le nombre de tours du lacet autour de z_k , positif si le sens de parcours du lacet autour de z_k est le sens direct , nul si le lacet ne passe pas autour de z_k, négatif si le sens est celui des aiguilles d’une montre.
Ind_γ (z_k) = 1/(2πi) ∫_γ dz / (z-z_k)
∫_γf(z) dz = 2π i ∑ _k=1 ⁿRes (f,z_k) Ind_γ (z_k)