ellipse de Steiner

GEOMETRIE

Parmi les ellipses inscrites dans un triangle, c’est à dire tangentes aux trois côtés d’un triangle, une seule est d’aire maximale, on l’appelle ellipse de Steiner.
• Son centre est le centre de gravité G du triangle.
• Elle est tangente aux côtés du triangle en leur milieu.
• Le rapport de l’aire de l’ellipse sur celle du triangle est égale à π/3√ 3.
• Si on appelle z1, z2 et z3 les affixes des sommets du triangle et P(z) le polynôme
(z − z1)(z − z2)(z − z3), alors les foyers de l’ellipse sont les deux racines du polynôme P’, dérivé du polynôme P.
• La droite passant par les deux foyers de l’ellipse est la droite telle que la somme des carrés des distances des sommets du triangle à la droite soit minimale (droite de régression orthogonale des trois sommets).
• Dans le cas où le triangle est équilatéral, cette ellipse est le cercle inscrit .

Parmi les ellipses circonscrites à un triangle, c’est à dire dont les tangentes en A, B et C, respectivement parallèles à (BC), (AC) et (AB), une seule est d’aire minimale.
• Son centre est le centre de gravité du triangle.
• Elle est homothétique de l’ellipse inscrite de Steiner centre G rapport 2.

Le mathématicien suisse Jacob Steiner (1796-1863), dont cette ellipse rappelle le nom, a été un des plus importants de son siècle en géométrie « pure ».