ovale de Descartes

ovale cartésien
courbe aplanétique
optoïde

GEOMETRIE

Encore appelée courbe aplanétique ou optoïde, cette courbe a été étudiée par Descartes en 1637, puis par d’autres mathématiciens dont Newton , Chasles , et Christophe Soland (en 1997).

Etant donnés deux points fixes F et F’ d’un plan P, un ovale de Descartes est l’ensemble des points M de P dont les distances à F et F’ vérifient une relation du type a MF + b MF’ = k avec Ι a Ι ≠ Ι b Ι (condition qui exclut les coniques à centre).

Les ovales de Descartes ont de nombreuses propriétés.

Les angles i1 et i2 de la tangente en un point M de l’ovale avec les rayons MF et MF’ vérifient sin i1/sin i2 = b/a . Cette propriété est celle qui a motivé l’étude réalisée sur les ovales par Descartes dans sa Dioptrique : si la partie externe d’un ovale de Descartes contenant F a pour indice de réfraction n1 et la partie interne contenant F’ a pour indice de réfraction n2,avec n1/n2 = b/a, alors les rayons lumineux issus de F réfractés par l’ovale convergent vers F’. C’est à cette propriété que les ovales de Descartes doivent leur nom de courbe aplanétique. (voir aussi la notice ligne aplanétique dans cette base).

Les ovales de Descartes sont des courbes anallagmatiques (globalement invariantes par inversion ).

Les ovales de Descartes sont les courbes d’équidistance (ou lignes de partage) de deux cercles.

Les ovales de Descartes sont les projections de l’intersection de deux cônes de révolution d’axes parallèles sur un plan perpendiculaire à ces axes (théorème de Quételet).