Klein Félix

ANALYSE
ELEMENTS DE BIOGRAPHIE
GEOMETRIE

Felix Christian Klein (1849 – 1925), mathématicien allemand.

Etudiant précoce, il fait ses études secondaires à Düsseldorf puis étudie les mathématiques et la physique à l’université de Bonn, et travaille sous la direction de Julius Plücker qui s’intéresse à la géométrie des droites projectives. Il passe sa thèse de doctorat en 1868.
Il enseignera dans plusieurs universités : Erlangen (en 1972, où il rédige pour son discours inaugural le texte appelé programme d’Erlangen), Munich, Leipzig (période la plus féconde de sa recherche en mathématiques), Göttingen à partir de 1886.
Il crée avec Clebsch les Mathematische Annalen, revue qui rivalise avec les Annales de Crelle et se spécialisera en analyse complexe et en géométrie algébrique. En 1895, il publie la grande Enzyclopiidie der mathematischen Wissensschaften.
S’intéressant à l’enseignement des mathématiques, il contribue à introduire le calcul différentiel et intégral dans l’enseignement secondaire et est le premier président de la Commission Internationale de l’Enseignement des Mathématiques. Il est également le premier à diriger la thèse d’une étudiante, Grace Chisholm Young et contribue à l’admission des femmes à l’université.

Dès 1870 dans son étude comparée des géométries euclidienne et non-euclidiennes, et en 1872, dans le programme d’Erlangen et l’article Étude comparée de différentes recherches récentes en géométrie (Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen) propose une nouvelle vision de la géométrie, révolutionnaire pour l’époque et qui s’imposera. La géométrie euclidienne et les géométries non-euclidiennes pouvent être interprétées comme des géométries projectives . Cela met fin à la controverse opposant ces géométries, et sera définitivement axiomatisé par Hilbert (1899). De son côté, Henri Poincaré était arrivé, indépendamment, à la même conclusion.

Pour Klein, une géométrie est la donnée d’un ensemble E et d’un groupe G de bijections de E. Il s’agit alors d’étudier les invariants de E par ces transformations.
Cette nouvelle vision de la géométrie fait le lien entre géométrie et la théorie des groupes. Elle permet une classification des géométries.

Les travaux de Klein, de première importance, ont eu un impact durable sur les recherches en géométrie.

On lui doit aussi une contribution à la théorie des fonctions elliptiques et des fonctions automorphes .

Outre le programme d’Erlangen et ses travaux en théorie des groupes et en géométrie, le nom de Klein est attaché à une surface fermée qui n’a ni intérieur ni extérieur, appelée bouteille de Klein qu’il a décrite en 1882. Cet objet peut être construit dans un espace non-euclidien mais pas dans un espace euclidien, cependant elle peut y être représentée.