carré de Khajuraho

ARITHMETIQUE
GEOMETRIE

Il s’agit d’un carré magique d’ordre 4, appelé Chautisa Yantra, qui figure sur une inscription dans un temple de la ville de Khajuraho dans le centre de l’Inde.
Ce carré magique a de nombreuses propriétés arithmétiques. De plus, une visualisation géométrique permet de conclure : son groupe de symétries est isomorphe au groupe des 384 symétries de l’hypercube (polytope d’ordre 4 dont toutes les faces sont des carrrés).
Les temples de Khajuraho ont été construits à la fin du premier millénaire, ils sont célèbres par les représentations de dieux, déesses, animaux mythologiques, etc.
Il y figure un carré magique pandiagonal (ou panmagique, ou diabolique) qui comprend les nombres de 1 à 16 et contient de nombreuses autres propriétés qui montrent une grande connaissance des carrés magiques à cette époque.
En plaçant des copies du carré côte à côte et l’une sous l’autre on peut obtenir un tapis magique : de grands rectangles où chaque carré partiel de 4 sur 4 est un carré magique.

Ce n’est pas le seul carré magique pur d’ordre 4.
Le carré de Khajuraho a été étudié par Nārāyaṇa Paṇḍit (voir https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Narayana/), mathématicien indien du 14e siècle (qui a laissé des commentaires sur le Lilavati de Bhaskara II ) a démontré qu’il existe 384 carrés panmagiques qui utilisent toutes les entrées 1,2,.,16. (dans le 14e chapitre de son ouvrage Ganita Kaumudi)
Le carré de Khajuraho a aussi été étudié par Bernard Frénicle de Bessy (publication à titre posthume en 1693).

Un autre carrré magique d’ordre 4 est célèbre, c’est celui qui figure sur Melancolia I de Dürer . Ce carré est magique mais pas panmagique (ce qui permet que les nombres 15 et 14, voisins, mettent en évidence l’année 1514, date de la création de cette oeuvre).