Ce problème d’inscription d’un carré dans un triangle, fréquemment rencontré depuis cinq siècles dans la littérature mathématique, a d’abord été posé sous la forme d’une question ouverte aux élèves d’une classe de seconde, sans grand succès, à part la mise en évidence d’une sorte de méthode de « fausse position ».

L’activité proposée comporte deux parties bien distinctes :
– La première partie, prétexte à l’étude d’un texte ancien, consiste à examiner la solution d’Etienne Bézout. L’intérêt de la méthode utilisée par ce mathématicien du XVIIIe siècle, outre le fait qu’elle est très « lisible », réside dans l’analyse qui est faite de la situation avant de donner une construction utilisant les triangles semblables (contrairement à beaucoup d’autres qui fournissent directement leur solution, comme Al-Khwarizmi ou Marolois, étudiés par P. Guyot dans le n° 51 de la revue Repères). C’est aussi un bon exemple d’application de l’algèbre à la géométrie, en dehors du cas classique du calcul de coordonnées dans un repère.
– La deuxième partie consiste à chercher une application à ce problème.
En écrivant de différentes manières la formule établie par Bézout, on aboutit à plusieurs modes de construction (triangles semblables, mais aussi utilisation d’un triangle rectangle, voire utilisation de la courbe de la fonction inverse) et on reconnaît une grandeur utilisée depuis l’Antiquité : la moyenne harmonique. Il reste alors à écrire la formule d’une dernière façon pour reconnaître le même problème, posé mais résolu différemment par Euclide dans « Les Eléments ».