Dans cet article, les auteurs proposent un certain nombre d’activités géométriques utilisant des outils variés (règle non graduée, compas à pointes sèches, systèmes articulés en particulier bissecteur, pliages) afin de mettre en évidence différentes géométries associées à différents pliages.
En effet, il est frappant de constater que la géométrie des pliages est aussi « puissante » (c’est-à-dire qu’elle permet autant de constructions) (voir l’ouvrage de référence de Jean Claude Carréga Théorie des corps ) que :
– la géométrie du bissecteur (c’est-à-dire celle qui utilise, en plus de la règle non graduée, un objet appelé bissecteur, permettant de construire la bissectrice d’un angle quelconque) ;
– la géométrie de la règle et du transporteur (que nous avons développée avec Ruben Rodriguez dans deux ouvrages Du dessin perçu à la figure construite et Nouvelles pratiques de la géométrie ) appelée aussi géométrie de la règle (non graduée) et du compas à pointes sèches, géométrie équivalente à la précédente ;
– la géométrie à la règle et au compas, plus puissante que les deux précédentes, dont Mascheroni (Geometria del compasso, 1797) a montré qu’elle est équivalente à la géométrie au compas seul en convenant de représenter une droite par deux points distincts ;
– et même, si l’on admet les « ajustements » de la feuille au cours du pliage, (on peut dire aussi « tâtonnements »), la géométrie de la construction de certains nombres algébriques puisqu’elle permet la trisection de l’angle (voir Pliages et géométrie ainsi que Nouvelles pratiques de la géométrie ).
En outre, une comparaison entre ces différentes géométries et les axiomes des origamis de J. Justin et H. Huzita est établie.