Lors de l’apprentissage à la démonstration en géométrie au collège les élèves sont confrontés à diverses sortes de difficultés :
– les unes relevant de caractéristiques psychogénétiques (par exemple, grande variabilité entre les élèves d’une même classe du point de vue de la mise en oeuvre de la fonction d’abstraction, du maniement des opérations hypothético-déductives au niveau du stade des opérations formelles)
– les autres dues à des obstacles internes aux connaissances mathématiques (obstacles épistémologiques), à des obstacles liés à la transmission des connaissances (obstacles didactiques) ou au support de communication écrite et orale que constitue la langue du point de vue de sa réception textuelle (les problème de lecture envisagés sous le double aspect de la compréhension et de la production ou rédaction)

Conscients de ces difficultés, les auteurs explicitent leur approche pédagogique visant à remédier à cette situation. Leur conception de l’apprentissage à la démonstration, au centre de laquelle la notion de figure joue un rôle capital, les conduit à envisager deux phases :
– la première dans laquelle est pris en compte le « dessin réalisé par l’élève comme figure générique »
– la seconde dans laquelle « la perception de la figure intervient dans l’approche plus ou moins immédiate de résolution de problèmes et(ou) induit des formes de raisonnement. »

Les auteurs se sont particulièrement centrés sur trois axes de travail :
– le statut de la figure
– observer l’évolution (de ce statut) dans les démarches des élèves
– évaluer l’influence de cette évolution sur leur méthodologie de raisonnement.

Sont précisés dans l’article les points suivants pour le niveau 5e-4e :
– mention de « diverses situations permettant de faire prendre conscience de la différence entre dessin et figure et de la nécessité de justifier ses constructions »
– analyse « des difficultés liées à la résolution de problèmes de géométrie »
– présentation, « pour aider à la mise en place de méthodologie de recherche, (de) deux situations utilisant un outil peu usité dans le 1er cycle (les tangentes à un cercle), nécessitant en première partie un raisonnement simple mais dont les résultats ne sont pas évidents pour les élèves du 1er cycle, permettant de distinguer les aspects heuristiques et discursifs dans le travail des élèves. »