Dès le début, le conférencier justifie son attitude de confrontation, historiquement présente en mathématiques dès l’Antiquité. La plus aigue et permanente confrontation porte sur l’utilité des mathématiques. D’abord il faut distinguer les « mathématiques enseignées » des « mathématiques ». L’enseignement des mathématiques n’est pas la vulgarisation de la mathématique qui réussit. Les programmes sont soumis à des enjeux culturels, disciplinaires et spécifiques au métier d’enseignant. L’auteur donne en exemple la correction par Auguste Comte d’une interrogation d’un élève au concours d’entrée à Polytechnique : Comte oblige le candidat à « repenser ses connaissances, à les retrouver par un biais historique inattendu ». C’était le présage de l’avènement d’une mathématique axiomatique.
François 1er a créé le premier poste de professeur de mathématique, auteur d’une encyclopédie mathématique, qui a fait de l’ombre aux universitaires. Les mathématiques sont souvent associées à la physique, et seulement optionnelles. La révolution française, avec la création des Ecoles centrales, et la création des lycées, en 1802 ont changé la donne : le latin et les mathématiques deviennent les deux piliers de l’enseignement, ce qui suscite la création du corps professoral des professeurs de mathématiques. Le conférencier est alors amené à montrer comment un enseignement traite une innovation, la géométrie analytique, qui fait disparaître de l’enseignement la géométrie euclidienne. Une figure analytique est insuffisante en elle-même et fait appel à des commentaires et impose des conventions (repérage, langage algébrique). Un des défis de l’enseignement est de montrer la variété des points de vue.
L’utilité des mathématiques se montre particulièrement dans la modélisation, en liaison avec d’autres disciplines. Il donne en exemple l’origine physique du temps de demi-vie, qui fait saisir une nouvelle propriété de l’exponentielle. L’enseignant de mathématiques devra faire dans son enseignement même un saut en dehors des mathématiques pour être utile.
En dépit de la variabilité de la notion d’utilité, le mathématicien doit toujours justifier son rôle dans le cadre de l’école, c’est-à-dire entrer en confrontation avec d’autres savoirs, et même en confrontation avec le sens commun. C’est sur la possibilité même des mathématiques à permettre une critique de la pensée que porte la crise de la représentation mathématique. Exemple : la statistique est bien une science mathématique, mais les recettes mêmes du calcul permettent de discuter la validité des conclusions.
Le défi majeur pour le futur est bien pour l’enseignant de mathématiques de pouvoir s’intéresser à autre chose que les mathématiques et ce, pour la qualité même de son enseignement.