La géométrie semble disparaître peu à peu des programmes d’enseignement. Ce qui amène l’auteur à se demander si c’est justifié. Non, selon lui, la géométrie est utile : »Penser géométriquement » est utile dans de nombreux domaines et il donne des exemples en physique et en analyse. La géométrie aide à l’apprentissage du raisonnement. Exemples : la droite d’Euler, le lieu du cercle circonscrit, les segments décalés. Il est important de l’enseigner en collège, et de fournir aux élèves les bons outils, en particulier les invariants et l’auteur montre un exemple de raisonnement basé sur la transitivité.
Des outils importants pour les démonstrations : il définit les orbites et souligne l’utilisation des outils angle et aire (ex : les 5 lemmes du collège relatifs aux aires), le théorème de Thalès. Il se fait l’avocat des cas d’isométrie, et termine par des propositions : réhabiliter Euclide (invariants, longueurs, angles, cas d’isométrie), ajouter la notion de groupe, les invariants orientés.
Il termine par une polémique au sujet des mauvaises procédures d’écriture des programmes, qui a amené à négliger la géométrie, pourtant si essentielle à la formation de la pensée et du raisonnement.