Ce recueil a été élaboré dans le cadre d’un stage inter-établissements, initié en décembre 2007-2008 et poursuivi en 2008-2009, entre le collège Monge et le lycée Clos Maire à Beaune. Il est le fruit d’un travail commun entre les professeurs de mathématiques de ces deux établissements. Son but était d’élaborer une série d’exercices et de problèmes regroupés par thèmes, abordables aussi bien au collège qu’au lycée, mais avec des approches et des niveaux d’approfondissement différents. Cette brochure les met à la disposition afin que chaque professeur du secondaire puisse, si cela l’intéresse, y puiser pour y trouver du matériau pour la classe.
Quelques indications sont données sur le niveau ou le ressort didactique des exercices, mais une adaptation est possible. Chaque énoncé est rédigé à l’aide d’un questionnement, ce n’est qu’une indication pédagogique.

Voici la liste des problèmes :

Thème 1 : les moyennes

A – Qu’est-ce qu’une moyenne ?
Problème 1 – Moyenne arithmétique, moyenne harmonique
Problème 2 – Découverte de quatre différentes moyennes

B – Les moyennes : à quoi ça sert ?
Problème 3 – Pourcentages et moyenne géométrique
Problème 4 – Pesées et moyenne géométrique (1)
Problème 5 – Pesées et moyenne géométrique (2)
Problème 6 – Plaques moyennes et moyenne quadratique
Problème 7 – Vitesse et moyenne harmonique
Problème 8 – Taux de change et moyenne harmonique
Problème 9 – Base « moyenne » d’un trapèze et moyenne harmonique

C – Comment visualiser les moyennes ?
Problème 10 – Hauteur d’un triangle rectangle et moyenne géométrique
Problème 11 – Toutes les moyennes dans une même figure
Problème 12 – Une visualisation graphique

D – Comparaison des différentes moyennes
Problème 13 – Comparaison géométrique
Problème 14 – Comparaison algébrique
Problème 15 – Comparaison de quelques moyennes de n nombres

Thème 2 : Cercles et tangentes

A – Utilisation d’axes de symétrie
Problème 1 – Avec un cercle et une corde
Problème 2 – Avec un cercle et deux tangentes
Problème 3 – Avec un cercle et trois tangentes (1)
Problème 4 – Avec un cercle et trois tangentes (2)
Problème 5 – Le triangle mystérieux
Problème 6 – L’énigme de la couronne

B – Problèmes de construction et de lieu géométrique
Problème 7 – Tangentes à un cercle menées d’un point extérieur
Problème 8 – Tangentes communes à deux cercles tangents (1)
Problème 9 – Tangentes communes à deux cercles tangents (2)
Problème 10 – Cercles tangents à un cercle et une droite

Thème 3 : Autour de l’aire d’un triangle

A – Comparaison d’aires
Problème 1 – Étude de quelques figures clés
Problème 2 – Partage d’un quadrilatère
Problème 3 – Découpage d’un triangle (1)
Problème 4 – Découpage d’un triangle (2) et propriété caractéristique de la médiane
Problème 5 – Le théorème du pied de la bissectrice
Problème 6 – Prolongements d’un triangle

B – Les aires : un outil pour la géométrie
Problème 7 – Une propriété du triangle équilatéral
Problème 8 – Triangles ayant deux hauteurs de même longueur
Problème 9 – Triangle : aire, périmètre et rayon du cercle inscrit
Problème 10 – Démonstration du concours des médianes d’un triangle
Problème 11 – Un alignement dans le trapèze
Problème 12 – Une condition analytique d’alignement