Cet ouvrage peut être vu comme le journal de bord d’un mathématicien. Il nous fait partager son emploi du temps, ses voyages, ses résultats, ses doutes des deux années qui ont précédé sa médaille Fields. Si les échanges de courriel, ne prennent sens que pour les spécialistes de la discipline, le lecteur, même non scientifique, sera sensibilisé à la vie que peut mener un chercheur en mathématiques et à l’histoire des mathématiques. En effet de nombreux passages sont consacrés aux mathématiciens qui ont précédé Cédric Villani sur l’équation de Boltzmann.

Dans sa préface, il précise « Le récit suit la genèse d’une avancée mathématique, depuis le moment où l’on décide de se lancer dans l’aventure, jusqu’à celui où l’article annonçant le nouveau résultat -le nouveau théorème- est accepté pour publication dans une revue internationale. Entre ces deux instants, la quête des chercheurs, loin de suivre une trajectoire rectiligne, s’inscrit dans un long chemin tout en rebonds et en méandres, comme il arrive souvent dans la vie. »
Au début de l’ouvrage, la situation est la suivante : physiciens et mathématiciens, et en particulier l’auteur, ont étudié l’équation aux dérivées partielles écrite en 1870 par Ludwig Boltzman pour modéliser l’évolution d’un gaz raréfié fait de milliards de particules. Introduisant l’entropie, Boltzman a démontré qu’elle ne pouvait que croître avec le temps.
Cédric Villani connaît mieux que personne aujourd’hui le monde mathématique engendré par cette équation, carrefour de la physique statistique, de la mécanique des fluides, des probabilités, de la théorie de l’information.
Il a lui-même, sept ans plus tôt, initié à cet univers mystérieux Clément Mouhot devenu depuis un chercheur autonome, brillant et enthousiaste. Mais c’est une autre équation due au physicien russe Vlasov qui détermine les propriétés statistiques des plasmas pour lesquels l’entropie est constante. Lev Landau, prix Nobel 1962, en travaillant sur cette équation a énoncé un principe d’ « amortissement Landau » après un calcul mathématique complexe ; (en fait, il a utilisé un modèle simplifié linéarisé) et certains spécialistes de théorie mathématique des gaz pensent que cet amortissement est une chimère, sortie de l’imagination fertile des physiciens, sans espoir de formulation mathématique. Le probabiliste Mark Katz affirmait non sans humour il y a une soixantaine d’années : « dans un mémoire de physique, il y a deux équations exactes, la première et la dernière, le rôle du mathématicien, c’est de reconstituer tous les intermédiaires ».
Cédric Villani décide donc de s’attaquer au problème et il convainc rapidement Clément Mouhot de travailler avec lui.
Le livre raconte avec beaucoup de franchise et de spontanéité cette longue ascension à deux semée d’embûches, de retours en arrière, de découragements : la difficulté ne consiste pas dans la démonstration des lemmes successifs, à la portée d’un étudiant de maîtrise, mais dans leur énoncé même : choix des paramètres, des normes, des majorations qui conduiront à un contrôle du comportement asymptotique quand le temps tend vers l’infini. Ces choix apparaissent soudain à la suite d’une rencontre ou d’une analogie mais conduisent parfois à une impasse comme dans une escalade.
L’ouvrage détaille cette histoire mouvementée sous forme d’une chronique de 45 chapitres précisément datés du 23 mars 2008 au 24 février 2011.
Chaque chapitre décrit le cadre et le lieu du jour : le bureau de l’ENS de Lyon, l’institut légendaire d’Oberwolfach dans la Forêt-Noire, un stage de musique pour les enfants dans les Hautes Alpes, la résidence étudiante internationale Shugaku à Kyoto, auto-stop à Lyon, le 25 décembre dans un village de la Drôme, six mois à l’Institute for Advanced Study (IAS) de Princeton, le séminaire de physique statistique de l’université Rutgers, le congrès International de Physique mathématique de Prague, une éprouvante tournée américaine, des exposés à l’université du Michigan à Ann Arbor, un colloque à Palm Beach, Saint-Rémy-lès-Chevreuse, le grand bureau de l’IHP, les obsèques de Paul Malliavin à Saint-Louis-en-l’Île, le congrès International des Mathématiciens à Hyderabad, chez Gabor à Budapest.
Tout au long du livre, sont croqués en quelques traits précis, mathématiciens et physiciens, soit du présent à l’occasion d’une fructueuse rencontre, soit du passé qui ont su les premiers poser des problèmes encore ouverts aujourd’hui : Robert Glassey et Eric Carlen, spécialistes américains de théorie des gaz ; Freddy Bouchet, mathématicien et physicien spécialiste des galaxies et de la mystérieuse faculté qu’ont les étoiles à s’organiser en configurations stables ; Étienne Ghys, qui a fait du laboratoire de maths de l’ENS Lyon l’un des meilleurs centres de géométrie du monde ; Isaac Newton et sa loi de gravitation universelle, mais aussi la surprenante efficacité de sa méthode de résolution approchée d’une équation ; Andreï Kolmogorov, fondateur de la théorie moderne des probabilités qui a élaboré avec Vladimir Arnold et Jürgen Moser la théorie K.A.M. et son application à la stabilité du système solaire ; Joseph Fourier et l’application de son analyse aux sons, aux images, aux marées, . ; Donald Knuth, inventeur en 1989 du logiciel TEX puis de ses versions successives indexées par les approximations décimales de ; Faà di Bruno et sa formule donnant les dérivées successives d’une fonction composée ; les Bamberger, mécènes fondateurs en 1931 de l’IAS de Princeton qui accueille, sans obligations de cours, les meilleurs spécialistes en mathématiques et physique théorique (Einstein, Gödel, Weyl, Von Neumann, et actuellement Jean Bourgain, Enrico Bombieri, Freeman Dyson, Edward Witten, Vladimir Voevodsky et bien d’autres) ; Alexandre Grothendieck, légende vivante qui révolutionna la mathématique ; Kurt Gödel, le plus grand logicien de tous les temps ; John Nash, qui en dix années et trois théorèmes révolutionna l’analyse et la géométrie ; Michael Kiessling, un grand lutin aux yeux brillants ; l’équation d’Euler, la doyenne des équations aux dérivées partielles dont en 250 ans on n’a pas percé tous les mystères, et dont Vladimir Scheffer a montré l’existence de solutions paradoxales, travaux poursuivis et améliorés par Alexander Shnirelman, De Lellis et Székelyhidi ; Paul Cohen, l’un des esprits les plus créatifs du vingtième siècle ; Joël Lebowitz, le pape de la physique statistique ; Alice Chang, spécialiste de l’analyse géométrique ; Elliott Lieb pour qui rien ne vaut une bonne inégalité pour comprendre un problème ; Gösta Mittag-Leffler, qui crée en 1882 Acta mathematica et publie l’article que lui propose Henri Poincaré alors qu’il comporte une erreur ; celui-ci réussit à transformer son erreur en acte fondateur ; Carlo Cercignani qui a consacré sa vie à Boltzmann, à ses théories et à leurs applications ; Paul Malliavin inventeur du calcul qui porte son nom, personnage complexe et fascinant, à la fois conservateur et iconoclaste ; Gregori Perelman qui a démontré la grande conjecture de géométrisation de Thurston et la conjecture de Poincaré ; Michelle Schatzman, toujours prête à se lancer dans des défis pédagogiques insurmontables ; Gabor, l’inventeur du Gömbö, forme pleine et homogène qui n’a qu’un équilibre stable et un équilibre instable.
L’auteur consacre une dizaine de pages à la musique, compagne indispensable des moments de recherche solitaire : musique classique mais surtout chansons et poèmes contemporains répétés en boucle et écoutés sans fin.
Dans un souci de clarté, la typographie distingue les références historiques en italique et les courriers électroniques presque quotidiens échangés avec Clément Mouhot reproduits tels quels de sorte que la lecture des formules et des lettres non accentuées en est parfois désagréable. Par contre les pages de mathématiques en TEX sont limpides tant par leur forme que par le fond ; le lecteur non spécialiste se contentera de les admirer tandis que le mathématicien pourra les lire et les analyser ligne à ligne comme on remplit un sudoku.