L’auteur, professeur d’université, convie le lecteur, qu’il soit universitaire, enseignant, étudiant ou simple amateur de mathématiques, à une visite guidée du monde hyperbolique, en cinq étapes/chapitres :
Chapitre 1 : Le rêve : le problème du cinquième axiome d’Euclide a trouvé après des siècles une solution très éloignée de celle attendue, comme les plus anciens rêves de l’humanité : le vol (Icare), l’intelligence artificielle (le Golem). Une première vision de ce monde nouveau passe par des oeuvres d’art : dessins de Jos Leys et de l’auteur, ouvrages au crochet ou tricot de l’épouse de ce dernier. On découvre aussi quelques propriétés surprenantes du plan hyperbolique : pavage par des polygones réguliers quelconques voire des « infinigones », impossibilité des similitudes,…
Le chapitre 2 : Voyage dans le temps, raconte comment vingt siècles d’efforts pour démontrer le fameux axiome ont abouti à l’invention des géométries non euclidiennes ; longue quête où Saccheri et Lambert jouent un rôle charnière, l’aboutissement étant atteint par Lobatchevski (Sic ; d’autres sources écrivent Lobatchevski, d’autres Lobatchevski…) et Bolyai (tandis que le rôle de Gauss est minimisé).
Dans le chapitre 3 : Voyage dans un monde hyperbolique, nous commençons l’exploration de celui-ci grâce au modèle du disque ouvert de Poincaré, dont les principes sont révélés progressivement. On y découvre les notions d’horicycle et de courbe équidistante, de nombreuses constructions sont effectuées. Le chapitre se termine par la présentation des automates cellulaires hyperboliques.
Le chapitre 4 : Au coeur du monde hyperbolique, présente le contenu mathématique proprement dit : axiomes, définitions, théorèmes. La majorité des démonstrations est donnée, mais une différenciation typographique permet de les sauter. On continue de se construire une image mentale du plan hyperbolique, avec ses trois positions de droites : sécantes, parallèles, non sécantes ; son parallélisme qui est une relation d’équivalence sur les demi-droites, mais non sur les droites. Une brève excursion en dimension 3 complète cette vision.
Enfin dans le chapitre 5 : Impressions de voyage, l’auteur élargit son propos à une réflexion philosophique sur le statut des objets mathématiques, ainsi qu’à un regard sociologique sur l’état de la Recherche, toujours trop soumise au poids des décideurs et des institutions.