L’algorithme d’Euclide est un des plus anciens algorithmes de calcul. Il permet de calculer le « Plus Grand Commun Diviseur » (PGCD) de deux nombres entiers. Sa simplicité (des divisions successives), son efficacité et la diversité de ses applications le caractérisent. Les auteurs commencent ici par se focaliser sur le réseau d’articles dus à des auteurs de différents profils publiés dans la presse mathématique, au milieu du XIXe siècle (Journal de Liouville, Nouvelles annales de mathématiques, Comptes rendus hebdomadaires de l’Académie des sciences). Ces considérations historiques sont suivies de variations pédagogiques ayant pour objectif de mettre à la portée de nos élèves d’aujourd’hui – lycéens ou étudiants – deux types d’applications.
La première est ce que nous nommons aujourd’hui le théorème de Lamé, un théorème prisé par les informaticiens. Il a pour finalité l’estimation du temps de calcul de cet algorithme et affirme que: « Le nombre de divisions à effectuer, pour trouver le plus grand commun diviseur entre deux entiers A, et B<A, est toujours moindre que cinq fois le nombre des chiffres de B".
La deuxième application est un théorème d’arithmétique de Serret, affirmant que tout nombre entier congru à un modulo quatre est somme de deux carrés. Il est obtenu ici par une relecture pertinente et moderne de l’algorithme d’Euclide due au mathématicien norvégien Axel Thue (1863-1922), au début du vingtième siècle.
Ces deux applications sont mises en scène en présentant des textes testés avec des élèves de différents niveaux, par différents biais.