théorème des deux carrés

théorème des deux carrés de Fermat

ARITHMETIQUE

Le théorème des deux carrés (ou théorème des deux carrés de Fermat ) énonce des conditions pour qu’un entier soit la somme de deux carrés parfaits.

Théorème des deux carrés de Fermat (cas des nombres premiers ) – Soit p un nombre premier impair, p est somme de deux carrés d’entiers naturels si et seulement si p est congru à 1 modulo 4 :
∃ x, y ∈ N / p = x² + y² ⇔ p ≡ 1 (mod 4)

De plus, cette décomposition, quand elle existe, est unique, à l’échange près de x² et y².

Théorème des deux carrés (cas général) – Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 intervient à une puissance paire.

Théorème des deux carrés (compléments) – Soit n un entier ≥ 1 et r2(n) le nombre de représentations de n comme somme de deux carrés. Soit d1 (resp. d3) le nombre de diviseurs (pas nécessairement premiers) de n congrus à 1 (resp. 3) modulo 4, la formule suivante est vérifiée :
r2(n) = 4(d1(n) − d3(n)).

Les travaux concernant les sommes de carrés sont extrêmement anciens, on en trouve des traces dans les tablettes cunéiformes. Les mathématiciens du 17e siècle (Pascal , Descartes , Frénicle de Bessy , Bachet , Fermat) s’y intéressent tout particulièrement comme le montre leur correspondance, en liaison avec les commentaires sur les Arithmétiques de Diophante . Les démonstrations seront affinées aux siècles suivants (Euler , Lagrange , Goldbach , Gauss , Dedekind ).