Cette brochure contient un texte reprenant la démonstration, par Kurt Gödel, de la compatibilité de l’axiome du choix et de l’hypothèse généralisée du continu avec les axiomes de la théorie des ensembles.
Gödel en a donné une première démonstration lors de conférences à Princeton en 1937-1938 (publiées en 1940 : The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press) et l’a rééditée en 1951. Adolf Fraenkel tient ce résultat pour le « seul progrès décisif touchant le problème du continu ». L’article donne quelques idées du travail et met en évidence les notions générales de théorie formalisée, d’objet mathématique abstrait, de modèle d’une théorie, et montre comment une théorie proprement mathématique fait intervenir des notions et des théorèmes de logique.

Sommaire de la brochure :

I Considérations préliminaires, notions primitives, axiomes
1. Symbolisation du langage
2. Objets de la théorie
3. Présentation de la théorie. Axiomes
4. Formalisation du langage
5. Métathéorie

II Eléments de métathéorie
1. Théorème général d’existence, M1 (Plus exactement, méta théorème)
2. Notions métamathématiques
3. Applications

III Définition d’un modèle
1. Remarques
2. La notion d’ordinal
3. La notion de constructible
4. Le modèle
5. Utilisation du modèle