Dans « Pursuing Stacks », Grothendieck a émis la conjecture, connu aujourd’hui comme l’hypothèse de l’homotopie, affirmant que les oo-groupoïdes faibles sont des modèles pour les types d’homotopie. Dans une démarche purement Grothendieckienne, il cherche à étudier toutes les catégories qui modélisent canoniquement les types d’homotopie. Sa catégorie de modèles préférée est celle des petites catégories, une petite catégorie représentant le type d’homotopie de son topos des préfaisceaux. Il effectue les constructions usuelles de la théorie de l’homotopie, comme par exemple celle de l’espace des lacets, à l’intérieur de cette catégorie. En s’inspirant des propriétés cohomologiques des morphismes propres ou lisses de schémas, il introduit les notions de foncteur propre ou lisse. Son aversion envers les ensembles simpliciaux le conduit à dégager la notion de catégorie test et plus généralement de topos modélisateur dont les objets sont des modèles des types d’homotopie.