L’introduction est constitué d’un historique des travaux sur les séries divergentes : avant Abel et Cauchy, les travaux de Cauchy, les séries divergentes depuis Cauchy. Le premier chapitre intitulé « Séries asymptotiques » présente la série de Stirling, la théorie de Poincaré avec extension au champ complexe et applications aux équations différentielles. Le chapitre suivant est consacré aux fractions continues et à la théorie de Stieltjes. Le troisième chapitre traite de la théorie des séries sommables avec un exposé des différentes méthodes de sommation. Ce thème est prolongé dans le chapitre suivant : »Les séries sommables et le prolongement analytique ». Le cinquième chapitre aborde les développements en séries de polynômes où une place importante est donnée au théorème de Mittag-Leffler et à l’intégrale de Cauchy. Le dernier chapitre présente « Le développement moderne de la théorie des séries divergentes » avec le principe des facteurs de convergence, les séries de Dirichlet, la méthode de Riesz, l’intégrale de Laplace-Abel, les fonctions quasi-analytiques.