série de Stirling

ANALYSE

C’est la série qui conduit à la formule de Stirling .
La fonction Γ(z) est définie par
Γ(z)=e^-zz^z-1/2√(2π)[1+1/(12z)+1/(288z²)-139/(514840z³)-571/(2488320z⁴) +………..] où les coefficients an de zⁿ sont :
an = Σk=1²ⁿ (-1)^kd3(2n+2k,k)/2^n+k(n+k)!, d3(n,k) étant le nombre de permutations de n objets ayant k-cycles (nombres de Stirling ) .
La serie de Stirling est l’expression logarithmique de la série précédente :
ln(z) =(1/2)ln(2π)+(z-1/2)ln z -z + 1/(12z)-1/(350z³)+1/(1260z⁵) ………….