Bulletin de l’APMEP. N° 316. p. 817-832. Sur les pseudo-hypercubes.

English Title : Pseudo-hypercubes. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Pseudo-Hyperwuerfel. (ZDM/Mathdi)

Une version texte intégral est en téléchargement sur le site Bibliothèque numérique des IREM et de l’APMEP Télécharger

Auteur : Manzoni René

Résumé

En généralisant la notion d’hypercube dans un espace euclidien de dimension m, on définit un pseudo-hypercube de genre p (p étant un entier naturel compris entre 1 et m-1) de la façon suivante : m-p arêtes ont pour longueur a, et p arêtes on pour longueur a+1. Les pseudo-hypercubes dont les diagonales ont pour longueur d (d étant un entier naturel) sont particulièrement intéressants. Ces problèmes conduisent pour un m et un p donné à une équation comportant un nombre infini de n-uplets (asub(n), dsub(n). De nombreux efforts ont été nécessaires pour trouver l’algorithme de résolution. Finalement, les équations Pelliennes (incluant les fractions continues) conduisent à des formules pour asub(n), dsub(n) qui ne sont utilisables qu’avec un n-uplet de solution connu (asub(0), dsub(0)).

Abstract

In generalizing a hypercube in the m-dimensional Euclidean space a pseudo-hypercube of the genus p (p be natural number with 1=<p=<m-1) is defined as follows: m – p edges have the length a, and pedges have the length a+1. Those pseudo-hypercubes are of special interest whose diagonals have length of (d be a natural number). These problems result for given m and p in an equation with infinitely many solution tupels (asub(n), dsub(n)). Many efforts have to be made to find the solution algorithm. Finally, Pellian equations (incl. continuous fractions) lead to formulas for asub(n), dsub(n) which will work only with an ensured solution tupel (asub(o), dsub(o)). (ZDM/Mathdi)

Zusammenfassung

In Verallgemeinerung eines Hyperwuerfels wird im m-dimensionalen euklidischen Raum ein Pseudo-Hyperwuerfel vom Geschlecht p (p natuerliche Zahl mit 1=<p=<m-1) folgendermassen definiert: m – p Kanten haben die Laenge a und p Kanten die Laenge a+1. Von besonderem Interesse sind jene Pseudo-Hyperwuerfel, deren Diagonalen eine Laenge d (d natuerliche Zahl) besitzen. Aus dieser Problemstellung resultiert bei gegebenem m und p eine Gleichung, die unendlich viele Loesungstypel (asub(n), dsub(n)) besitzt. Die Suche nach einem Loesungsalgorithmus erfordert umfangreiche Betrachtungen. Schliesslich kommt man ueber die PELLsche Gleichung (inklusive Kettenbrueche) zu Formeln fuer asub(n) und dsub(n), die jedoch nur dann greifen, wenn die Existenz eines Loesungstypels (asub(o), dsub(o)) gesichert ist. (ZDM/Mathdi)

Notes

Le Bulletin de l’APMEP (appelé « Bulletin Vert ») s’efforce, par des articles de fond : de couvrir l’actualité de l’enseignement des mathématiques de la maternelle à l’université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d’entretenir, chez ceux-ci, l’esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.
Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.

Données de publication

Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1978 Format A5, p. 817-832
ISSN 0240-5709

Public visé chercheur, enseignant, formateur

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier