Bulletin de l’APMEP. N° 319. p. 367-376. Les applications f de R dans R telles que, pour tout couple (x,y) de nombres réels, f(x+y)=f(x)+f(y)).

English Title : Transformations of IR into IR which satisfy the equation f(x+y)=f(x)+f(y) for any tuple (x,y) of real numbers. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Abbildungen von IR in IR, die fuer jedes Tupel (x,y) reeller Zahlen, die Gleichung f(x+y)=f(x)+f(y) erfuellen. (ZDM/Mathdi)

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Auteur : Legrand J.

Résumé

Cet article est composé de trois parties :
1. Etude des endomorphismes du groupe additif R
2. Applications à divers problèmes
3. Cas des endomorphismes quelconques du groupe additif R.

Abstract

Apparently any IR-linear transformation f with f(x)=ax for any tuple (x,y) of real numbers satisfies the equation f(x+y)=f(x)+f(y) and is therefore an endomorphism of the additive group (IR,+), fepsilon End (IR,+). The first section of this treatise shows that vice versa any fepsilon End (IR,+) is an IR-linear transformation if f satisfies certain supplementary conditions: if fepsilon End (IR,+) and if f is continuous or bounded on an interval a,b , a =/ b or measurable after Lebesgue, then f is a IR-linear transformation. The second section expands the subject: for example it tests fepsilon End (IR,+) which at the same time are epsilon End (IR;) or which satisfy the equation f(x+y)=f(x) x f(y). At last the question arises if any fepsilon End (IR;) exist at all which are not linear (according to the first section in this case f must be discontunuous, not bounded and not measurable). The existence of such an f can be proved by means of axiom of choice, but this is not explained here. Instead of this an example of an fepsilon Aut (IR,+) which is not IR-linear is shown. This example has its origin in HAMEL. Consequently a discontinuous automorphism on (IR,+) exists. (ZDM/Mathdi)

Zusammenfassung

Offensichtlich erfuellt jede IR-lineare Abbildung f mit f(x)=ax fuer jedes Tupel (x,y) reeller Zahlen die Gleichung f(x+y)=f(x)+f(y), ist also ein Endomorphismus der additiven Gruppe (IR,+), f aus End (IR,+). Im ersten Teil des Aufsatzes wird gezeigt, dass umgekehrt jedes f aus End (IR,+) eine IR-lineare Abbildung ist, sofern f gewisse Zusatzbedingungen erfuellt: Ist f aus End (IR,+) und stetig oder auf einem Intervall a,b , a=/b, beschraenkt oder im Lebesgueschen Sinne messbar, so ist f eine IR-lineare Abbildung. Der zweite Teil bringt Erweiterungen: Beispielsweise werden f aus End (IR,+) untersucht, die gleichzeitig aus End (IR;) sind, oder die f(x,y)=f(x) x f(y) erfuellen. Endlich wird die Frage aufgeworfen, ob es ueberhaupt f aus End (IR,-) gibt, die nicht IR-linear sind (nach Teil 1 muesste f dann unstetig nicht beschraenkt und nicht messbar sein). Die Existenz eines solchen f laesst sich ueber das Auswahlaxiom beweisen, was hier aber nicht gezeigt wird. Stattdessen wird das auf HAMEL zurueckgehende Beispiel eines f aus Aut (IR,+) eingegangen, das nicht IR-linear ist. Es gibt also einen unstetigen Automorphismus auf (IR,+). (ZDM/Mathdi)

Notes

Cet article est publié sous la rubrique « Etudes ».

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Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.

Données de publication

Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1979 Format A5, p. 367-376
ISSN 0240-5709

Public visé chercheur, enseignant, formateur

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier