Dieser Uebersichtsartikel ist der Theorie der endlichen einfachen Gruppen gewidmet, deren vollstaendige Klassifikation im Sommer 1980 abgeschlossen wurde. Die Bedeutung dieser Gruppen ruehrt daher, dass sie nach dem Satz von Jordan-Hoelder als Bausteine der endlichen Gruppen angesehen werden koennen. Grundsaetzlich hat man zwischen zwei verschiedenen Arten endlicher einfacher Gruppen zu unterscheiden. Es gibt 18 unendliche Familien, wie etwa die Familie der abelschen Gruppen Z/pZ (p Primzahl) oder der alternierenden Gruppen A(n). Die zweite wird von 26 Gruppen gebildet, die zu keiner Familie gehoeren und deshalb sporadische Gruppen genannt werden. Zwei dieser Gruppen konnten, obwohl schon 1974 bzw. 1975 vermutet, erst 1980 konstruiert werden. Es handelt sich dabei um die Monstergruppe F[ (Fischer) mit ungefaehr 8 x 10[ Elementen und der vergleichsweise kleinen Gruppe J (Janko) mit ungefaehr 8 x 10 Elementen. F[ wurde ‘per Hand’als Untergruppe der Rotationsgruppe eines 196883 dimensionalen Raumes, J mit Hilfe eines Computers als Gruppe invertierbarer Matrizen der Dimension 112 mit Elementen aus Z/2Z konstruiert. Im Artikel wird nach dieser Uebersicht die Frage diskutiert, warum es keine weiteren endliche einfache Gruppen gibt. Dabei wird auf die gigantische Arbeit (ungefaehr 100.000 Seiten) aufmerksam gemacht, die notwendig war, um zu zeigen, dass es bis auf Isomorphie nur diese gibt und auf die skeptische Meinung einiger pessimistischer Mathematiker, dass sich in diese 100.000 Seiten Fehler eingeschlichen haben koennten, so dass doch noch weitere solcher Gruppen existieren. Am Ende des Artikel findet sich eine Tabelle mit allen endlichen einfachen Gruppen. (ZDM/Mathdi)