A juste titre, la résolution de problèmes occupe une place privilégiée pour le premier enseignement des nombres fractionnaires. Les situations les plus fréquemment envisagées portent sur des grandeurs physiques et mobilisent l’expression courante avant toute symbolisation. Au terme de cette phase, un temps bref est consacré à la présentation du symbolisme des notations numériques. Pour leur part, les représentations géométriques sont confinées au rôle d’illustrations (les parts de tarte associées le plus souvent aux écritures fractionnaires et les droites graduées aux écritures décimales), aidant à interpréter les « véritables » objets d’apprentissage que sont les écritures numériques usuelles.
Si des avancées importantes ont déjà ainsi été obtenues, certaines difficultés se montrent résistantes. Nombre d’élèves peinent à reconnaître dans les objets mathématiques exprimés symboliquement ceux dont il était question lors de la phase de conceptualisation : il n’est pas rare d’observer que l’inégalité 1/4>3/40 mette en échec un élève, auparavant capable de comparer les épaisseurs de deux feuilles extraites de deux tas, l’un de 4 feuilles ayant une épaisseur totale de 1 mm, l’autre de 40 feuilles ayant une épaisseur totale de 3 mm.
Cette thèse présente à la fois les résultats d’une réflexion et d’une expérience d’enseignement au cycle 3 des écoles s’inspirant, dans le cas des nombres fractionnaires, de la théorie des registres de Raymond Duval (Sémiosis et pensée humaine et son article dans la revue Recherche en Didactique des Mathématiques). Le propos se démarque ainsi des approches habituelles sur deux points : l’expression y occupe un rôle central dans la conceptualisation ; les représentations géométriques, notamment au moyen de droites graduées, sont élevées au rang de véritables registres d’expression, permettant d’annoncer puis de contrôler les traitements sur les écritures fractionnaires et décimales. Le choix de ce registre géométrique et d’un environnement informatique où il est mis à l’épreuve, concurremment aux registres numériques, ouvre aux élèves un véritable champ expérimental. Les activités sont organisées autour d’une série de vingt logiciels spécialement conçus à cette occasion.