A partir d’un exemple des choix possibles pour la demi-finale de la Coupe du Monde de football, Alain Connes montre les idées qui ont conduit à la résolution des équations de degré 3 et 4, en construisant des invariants des racines satisfaisant des propriétés de symétrie. De façon analogue, il introduit à la théorie de Galois qui a montré l’impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur à 5.
Dans le cas du degré 5, la présentation est faite grâce au groupe de l’icosaèdre et à ses générateurs, relié aux icosions d’Hamilton.
Enfin une démonstration algébrique est donné pour le théorème de Morley, basé sur un résultat relatif aux applications affines sur un corps commutatif.