Cet ouvrage propose une étude sur les méthodes géométriques en prenant comme exemple d’application la droite de Newton d’un triangle ABC :
« Une transversale coupant (BC), (CA), (AB) respectivement en P, Q, R, les milieux respectifs I, J, K de [AP], [BQ] et [CR] sont alignés « .
Les six points A, B, C, P, Q, R sont les sommets d’un « quadrilatère complet » et le théorème précédent s’énonce alors : « les milieux des trois diagonales d’un quadrilatère complet sont alignés ».
Jean-Louis Aymé nous offre TRENTE démonstrations différentes couvrant cinq grands domaines de la géométrie après un premier chapitre de « Présentation » :
Chapitre II. « La Méthode synthétique » (i.e. la géométrie la plus « grecque ») : dix démonstrations, du théorème de Thalès, ou du parallélogramme de Varignon,… à des techniques utilisant Pappus, Ménélaüs, Céva, …
Chapitre III. « La Méthode analytique », avec trois « techniques », la troisième utilisant les complexes.
Chapitre IV. « La Méthode projective » : six démonstrations de Poncelet à Möbius, en passant par Von Staudt, Plüker, les barycentres, …
Chapitre V. « La Méthode des transformations » : quatre démonstrations (Euler-homothétie ; de Longchamps avec points isotomiques, ménéliennes réciproques et groupe des homothéties-translations ; involution avec homographies de pinceaux ; polaires réciproques et faisceaux de coniques).
Chapitre VI. « La Méthode vectorielle » : sept démonstrations, d’une « technique des milieux » à Bellavitis, Grassmann, aux produits scalaire et vectoriel…