Dans ce livre, Keith Devlin présente les grandes lignes des sept problèmes mathématiques retenus par le Clay Mathematics Institute en 2000 pour une compétition historique : « quiconque résoudra l’un des sept problèmes mathématiques extraordinairement difficiles – choisis par un comité international de mathématiciens reconnus – et dont la solution sera confirmée par les experts, gagnera 1 million de dollars ! »
100 ans plus tôt, le mathématicien David Hilbert avait déjà proposé un ensemble de 23 problèmes qui occupèrent l’agenda des mathématiciens au XXe siècle.
Les sept problèmes du troisième millénaire sont de même stature et leurs solutions (ou l’absence de solution) joueront un rôle déterminant dans le cours des mathématiques du XXIe siècle.

Après une présentation de chacun de ces défis mathématiques, Keith Devlin consacre un chapitre à chacun d’eux qu’il replace dans leur contexte historique et donne une idée de la raison pour laquelle son étude a une grande importance aux yeux des mathématiciens.
– L’hypothèse de Riemann figurait déjà dans la liste de Hilbert. Sa démonstration serait une contribution importante pour la connaissance des nombres premiers, de leur répartition parmi les nombres naturels. Les répercussions attendraient jusqu’à la physique et la théorie de la communication.
– L’étude des équations de Yang-Mills permettrait d’allier théorie des champs et théorie quantique. Ces équations décrivent l’interaction forte des particules élémentaires. La théorie de Yang-Mills fait intervenir une propriété appartenant au monde de la mécanique quantique découverte par les physiciens de manière expérimentale mais qui reste incomprise d’un point de vue théorique. La résolution de ces équations
– La résolution du problème P=NP aurait des répercussions sur l’industrie, le commerce et la communication électronique, l’intenet… En effet, ce problème porte sur l’efficacité avec laquelle les ordinateurs peuvent résoudre les problèmes.
– La découverte d’une solution générale des équations de Navier-Stokes conduirait à des progrès en aéronautique et en ingénierie nautique. Ces équations décrivent le mouvement des liquides et des gaz. Des solutions partielles sont connues…
– La démonstration de la conjecture de Poincaré serait une avancée en topologie dont les applications aurait des conséquences pour la fabrication de puces et appareils électroniques, les recherches sur le cerveau humain et même dans l’industrie du cinéma.
– La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer fournit des informations sur les solutions possibles d’équations qui ne peuvent être résolues…
– La conjecture de Hodge sur la géométrie sans figures est un chaînon manquant de la topologie. Sa démonstration établirait un lien fondamental entre la géométrie algébrique, la topologie et l’analyse. Elle fournit aux chercheurs une structure mathématique pour étudier des objets impossibles à visualiser et qui ne peuvent pas être décrits visuellement…

L’ouvrage se termine par des suggestions de lectures.