Le plan de ce chapitre sert de résumé :

Introduction

Le devenir de la méthode axiomatique au dix-neuvième siècle
– Le problème des parallèles
– L’émergence des géométries non-euclidiennes
– La querelle entre les tenants des méthodes « analytiques » et « synthétiques
– La critique de l’axiomatique euclidienne
– De la synthèse de Cayley au programme d’Erlangen
– La conception de l’axiomatique de la géométrie chez Pasch
– L’axiomatique durant les dix dernières années du dix-neuvième siècle
– Les Fondements de la Géométrie, chez Hilbert et après lui

Les progrès vers la formalisation et la compréhension de son rôle jusqu’à la fin du dix-neuvième siècle
– Les étapes fondamentales de l’évolution des notations mathématiques
– Les variations d’attitude quant au sens et à la portée des calculs et des mathématiques

La logique mathématique au dix-neuvième siècle
– L’algèbre de la logique et le calcul propositionnel
– La théorie des relations
– La logique formalisée ches Frege et Peano

Grandes idées du vingtième siècle
– Le logicisme et la théorie des types
– La théorie des ensembles
– Le programme de Hilbert
– Intuitionnisme et autre attitudes non classiques
– Les fonctions récursives
– Les débuts de la théorie des modèles
– La solution du premier problème de Hilbert