Le formalisme en mathématiques a été inventé en grande partie pour faire face aux nombreux paradoxes qui sont apparus avec l’avènement de la théorie des ensembles. Un autre but du formalisme était une tentative de réduire le raisonnement mathématique à des calculsautomatiques sur des symboles. Pour expliquer les limitations de l’utilisation du langage formel, l’auteur de cet article adopte ce plan :
– Exposition d’un langage formel (celui de l’arithmétique) d’un système d’axiomes (celui de Peano), de l’un de ses modèles (l’ensemble des entiers naturels).
– Première discussion sur la notion de vérité en mathématiques à travers l’exemple précédent. Théorème de complétude de Gödel.
– Les problèmes posés par la théorie des ensembles et par sa formalisation.
– Remarques sur le programme de Hilbert.
– Quelques conclusions.