La thèse montre que les contraintes temporelles du fonctionnement didactique induisent des apprentissages invisibles à l’enseignant. Ces apprentissages n’assurent pas la progression didactique, mais ils jouent un rôle important dans la réussite des élèves. Leur existence est établie par l’observation d’épisodes didactiques au moyen de techniques d’approche biographique originales. La méthode est appliquée à l’observation des difficultés des élèves avec le calcul algébrique au Lycée, et à leur explication.
Dans la première partie, le problème de l’étude des élèves et de leurs apprentissages, en classe de mathématiques, est construit dans le cadre des théories existantes en didactique des mathématiques. Dans la deuxième partie, cette construction théorique sert à montrer qu’une part essentielle de l’apprentissage des élèves est commandée par un phénomène qui n’avait pas été nommé jusqu’à présent : le fonctionnement temporel de l’enseignement crée, pour l’enseigné, de l’ignorance. Cette ignorance est en général invisible à l’institution didactique, parce qu’elle est relative à des savoirs qui ne sont pas les objets actuels de l’enseignement. Les élèves rencontrent cette ignorance comme un « manque à savoir » et, dans le cas favorable, comme le besoin d’un savoir particulier.
La technique d’observation biographique utilisée donne accès à des épisodes didactiques, que la création institutionnelle d’ignorance caractérise. L’analyse des épisodes didactiques montre comment l’efficacité didactique de la rencontre de l’ignorance suppose que l’élève puisse identifier son besoin d’un savoir particulier. Cela nécessite un fonctionnement a didactique de la relation didactique, relativement à ce savoir particulier. Les observations réalisées le confirment : à cette condition seulement, l’élève peut interpréter l’ignorance qu’il rencontre comme le produit d’un épisode didactique que l’institution a créé pour qu’il apprenne ; à cette condition seulement, l’élève peut exprimer l’intention d’apprendre le savoir dont il ressent le besoin.
Dans la dernière partie, l’étude du cas de l’algèbre, autour de la Première S, est entreprise au moyen de la technique d’observation biographique proposée. Cette étude montre que l’organisation même de la transposition didactique actuelle de l’algèbre fait problème, en interdisant trop souvent l’existence d’une dimension adidactique dans les relations didactiques relatives aux savoir algébriques.