infini

ANALYSE
FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES

Aristote distingue deux sortes d’infini : l’infini potentiel et l’infini actuel. Cette distinction a évolué tout au long des siècles avec notamment des contributions importantes de Bolzano ,de Dedekind , de Cantor et de Brouwer . Actuellement la distinction entre ces deux infinis repose sur l’acceptation ou non du l’axiome du tiers-exclu.

L’infini actuel qui est l’infini des mathématiciens classiques peut s’illustrer par le fait suivant : Un ensemble est infini si il existe une bijection de lui-même vers une de ses sous ensembles. Ce concept nécessite l’acceptation du tiers-exclu.

L’infini potentiel qui est celui des mathématiciens intuitionnistes peut s’illustrer par le fait suivant qui est l’énoncé simplifié du théorème de l’éventail : Si on dispose d’un algorithme qui à toute suite logique (A(n)) fait correspondre un nombre entier naturel, alors ce nombre entier ne dépend que d’un nombre fini de termes de la suite (le même pour toutes les suites). Cet énoncé est acceptable parce que, à un instant donné, on ne dispose effectivement que d’un nombre fini de termes de la dite suite, c’est l’infini potentiel.