Cet article est consacré au jeune Descartes et au développement de sa pensée mathématique durant la période 1618-1629, depuis la rencontre avec Beeckam jusqu’à son départ pour la Hollande. Le moment des rêves, décisif pour le développement de sa personnalité est aussi évoqué. Dans cette période des mathématiques chez Descartes bien antérieure à « la géométrie », on distingue diverses étapes dans la maturation progressive de sa pensée. On examine ainsi les aspects mathématiques de quelques textes cartésiens du temps, « la » lettre à Beeckam et les « Cogitationes Privatae », puis les Règles pour la Direction de l’esprit (Regulae), enfin la découverte de la « construction des solutions » des équations du troisième et du quatrième degré, qui fut décisive quant à l’éveil de Descartes mathématicien. On met en évidence une figure de pensée, le moyen terme, centrale chez le jeune Descartes, et trois de ses incarnations mathématiques, les moyennes proportionnelles, les compas carté siens, et la « règle-glissière ». Rédigé en termes mathématiques modernes, les articles III, IV, V, ci-après relatifs à trois des inventions cartésiennes, viennent compléter le texte.