Ce chapitre présente un problème que les géomètres grecs ont tenté de résoudre à la règle et au compas, mais en vain : celui de la trisection d’un angle. Plusieurs instruments ont été inventés pour remplacer la règle et le compas, mais la trisection a surtout donné lieu à l’introduction de courbes, comme la conchoïde et le limaçon, et de mécanismes, comme le compas trisecteur de Descartes et le système articulé de Laisant.

Voici le plan :
– Des instruments pour la trisection (La règle marquée. Le couteau de cordonnier selon Claude Lucien Bergery (1828). L’équerre du charpentier selon Scudder (1928).)
– La trisection avec une hyperbole et un cercle (Une nouvelle intercalation. La trisection de Pappus d’Alexandrie.)
– Des courbes trisectrices et leurs constructions (Comme un coquillage : la conchoïde de Nicomède. Le limaçon d’Etienne Pascal vers 1640. La trisectrice de Maclaurin (1742). Constructions de trisectrices à la règle et à l’équerre (1890).)
– Des mécanismes pour trisecter (Le compas trisecteur de René Descartes (1620). Le système articulé de Charles-Ange Laisant (1875).)
– Constructions rigoureuses d’approximations (L’approximation d’Albrecht Dürer (1525). Deux approximations « normales » de Maurice d’Ocagne (1934). L’approximation infinie de Nicolaus Fialkowski (1893).)
– L’impossibilité de la trisection et les trisecteurs (La trisection dans La Géométrie de Descartes (1637). Le phénomène des trisecteurs aujourd’hui.)