Dans ce texte, les autrices rappellent d’abord l’importance des cas d’égalité des triangles et de la notion d’aire dans les démonstrations d’Euclide, qui ont fourni des méthodes jusqu’au 19ème siècle, comme dans les ouvrages « Géométrie élémentaire » de Bos, de géométrie publiés par Clairaut, par Legendre, ou par Lacroix.
Ensuite elles proposent en particulier une réflexion sur certaines démonstrations du théorème sur les lignes proportionnelles. Selon que l’on utilise ou pas des formules pour exprimer les aires des triangles et selon la manière dont on manipule les rapports de longueurs, des difficultés différentes se présentent et nous questionnent sur la manière de travailler ces démonstrations en classe.
En conclusion, elles attirent notre attention sur l’importance de ne pas occulter la vision des aires comme grandeurs au profit de leur vision comme nombres à travers des formules.