La réflexion de Wittgenstein concernant les mathématiques est orientée par la question du fondement des mathématiques telle qu’elle a préoccupé mathématiciens et logiciens au début du XX° siècle. C’est dans le contexte du logicisme de Frege et de Russell que Wittgenstein étudie ce qui fait la nécessité des propositions mathématiques.
L’auteur retrace la position de Wittgenstein dans le Tractatus Logico-Philosophicus à l’égard du logicisme pour dégager ce qui va rester la constante de ses réflexions à partir de 1929 : « l’opposition capitale entre les propositions ordinaires douées de sens et qui parlent du monde, et les pseudo-propositions… qui, en réalité, ne font qu’exprimer des conditions de sens », ce qui est le cas des propositions mathématiques.
A partir de là, l’analyse du statut de ce type de proposition sans contenu empirique et de leur usage permet de rendre compte de leur nécessité et de montrer que la plupart des questions de philosophie des mathématiques, dont celle du fondement, ne tiennent pas aux mathématiques elles-mêmes, mais à des façons de les considérer.
La suite du texte pointe les sources de confusion analysées par Wittgenstein :
– la transcription des mathématiques dans la notation de la logique et la théorie des ensembles,
– l’usage inconsidéré de la distinction aristotélicienne entre infini « en acte » et infini « en puissance »
– l’importance théorique accordée à la théorie des ensembles
– l’idée que faire un calcul c’est faire une sorte d’expérience confirmant ou infirmant une proposition.
En mettant en évidence l’aspect calculatoire des mathématiques Wittgenstein affirme par là-même que « la seule signification que les signes possèdent en mathématiques est celle que le calcul leur donne ». Le statut de vérité nécessaire qui caractérise une proposition mathématique tient à ce le résultat du calcul est celui auquel nous devions arriver. Caractère inexorable de la règle suivie dans l’effectuation du calcul ? « Ce n’est pas la loi qui est inexorable, c’est le juge ».
Le texte se termine sur le sens et les limites du caractère arbitraire de la norme.