Pour les élèves, « démontrer » est souvent uniquement associé à des phrases contenant des « donc » et des « d’où », alors que dès qu’ils s’attaquent à un problème, ils font acte de démontrer dès qu’ils sortent de la contemplation passive d’une figure, ce dont ils n’ont pas conscience. A chaque niveau de classe correspond un niveau d’abstraction. « Le geste géométrique va associer « regard », « action » et « acte de démontrer » « .
L’article propose un certain nombre de ces gestes géométriques : connaissance, reconnaissance et comparaison des formes, des grandeurs et des mesures ; opérations sur les formes : transformations isométriques, agrandissement et réduction, pliage découpage et puzzle, déformation ; comparaison d’aires ; etc. Il propose aussi plusieurs démonstrations des théorèmes de Pythagore et de Thalès et évoque l’intérêt des logiciels de construction géométrique.