« La pièce » décrite dans cette article se joue en cinq actes et repose sur la question ouverte suivante : démontrer que l’aire A sous une certaine hyperbole vérifie la relation : A(2)+A(3)=A(6). (*)
Bien sûr, en première, les élèves n’ont aucune méthode pour répondre à cette question.
Ils mettent en œuvre des méthodes, plus ou moins ingénieuses, où l’outil ordinateur se révèle d’une grande efficacité. Pourtant, quel que soit leur manière d’aborder le problème, à la fin de l’acte I, on en reste à conjecturer.
Dans l’acte II, on calcule la dérivée de la « fonction aire ». Ce qui permet, dans l’acte suivant, d’introduire très naturellement « la méthode d’Euler » pour représenter graphiquement la fonction. Certes (*) reste une conjecture mais les élèves sont convaincus à ce stade de la nécessité d’un passage à la limite pour démontrer l’égalité.
Il est alors possible de progresser. La « méthode des indivisibles », méthode inventée au XIIe siècle, oubliée depuis l’invention du calcul intégral, donne la réponse à la question de départ.
Enfin, dans le dernier acte, cherchant à prolonger la fonction aire, les élèves montrent qu’ils sont capables de chercher, à condition de leurs laisser un temps suffisant.