Un des aspects intéressants de l’arithmétique est que, sans avoir besoin d’un arsenal théorique important, on peut y faire de véritables démonstrations mathématiques, s’appuyant sur des raisonnements d’une certaine finesse. On y travaille sur des objets familiers : les entiers. On y tient des raisonnements multiples et complexes ; on y obtient des résultats non triviaux mais faciles à comprendre, qu’on peut tester ou découvrir par expérimentation.
L’article présente un choix de preuves historiques, plus ou moins intuitives, plus ou moins formalisées, autour du petit théorème de Fermat ; le bagage théorique se limite à une seule propriété qui apparaît sous différents énoncés (lemme d’Euclide, théorème de Gauss, etc.). Les méthodes de démonstration se présentent sous des formes très différentes bien que logiquement équivalentes (récurrence, descente infinie, etc.).
Dans cet article, est également proposé un devoir à la maison niveau Terminale S, où les élèves sont invités à suivre Euler dans une voie exploratoire pour étudier les puissances d’un entier modulo 641.