moyenne arithmético-géométrique

ARITHMETIQUE

on considère deux suite de nombres positifs (un) et (vn) définies de la façon suivante :
* les premiers termes sont respectivement u0 = a et v0 = b
* le terme générique : un+1 est la moyenne géométrique de un et vn
* le terme générique vn+1 est la moyenne arithmétique de un et vn
On démontre que ces deux suites sont adjacentes. Leur limite commune est la moyenne arithmético-géométrique des nombres a et b.
La moyenne arithmétique est comprise entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique, donc a fortiori entre a et b.

Elle est parfois appelée moyenne de Gauss. Elle a été découverte indépendamment par Legendre et par Gauss .
Elle intervient dans le calcul de la longueur de l’ellipse .