nombres amiables

nombres amicaux
nombres amis
nombres aimables

ARITHMETIQUE

Deux nombres sont dits amicaux, ou amiables, si la somme des diviseurs de l’un, hormis lui-même, est égale à l’autre. Exemple : 220 et 284.
De nombreux mathématiciens se sont intéressés aux nombres entiers, dont les nombres amicaux, depuis l’Antiquité. Pythagore donna ce nom au couple (220, 284). Al-Farisi découvrit le couple (17 296 ; 18 416), qui s’appelle actuellement « couple de Fermat  » . Al-Yazdi trouva vers 1500 le couple ( 9 363 584 ; 9 437 056), qui s’appelle actuellement « couple de Descartes « .
Thabit ibn Qurra (836-901) a indiqué une formule pour trouver certains nombres amicaux. Si a = 3 × 2ⁿ – 1, b = 3 × 2^n-1 – 1 et c = 9 × 2^2n-1 – 1 sont premiers lorsque n est un entier naturel plus grand que l’unité, alors 2ⁿ × a × b et 2ⁿ × c sont amiables. Par exemple, si n = 2, alors a = 11, b = 5 et c = 71. Les trois nombres sont premiers. Les deux nombres amicaux sont 2² × 11 × 5 = 220 et 2² × 71 = 284. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. Pour les valeurs de n inférieures à 20 000, cette formule n’est valable que pour n égal à 2, à 4 et à 7.
Euler a donné une liste de 61 paires de nombres amicaux. On en connaît aujourd’hui 13000.

On ne connaît pas de règle qui permettrait de les trouver tous, et on ne sait pas s’il en existe une infinité.
Aucune paire formée d’un nombre pair et d’un nombre impair n’est connue.